© Henri Pornon

Identification des figures géométriques

 

Compilation de figures identifiées par d’autres auteurs

Un certain nombre de ces géométries (notamment, la plupart des alignements et constellations) ont été compilées à partir d’ouvrages ou de publications d’autres chercheurs : elles ont systématiquement été contrôlées par comparaison de la figure géométrique attendue avec la localisation des points concernés, ce qui nous conduit dans certains cas à proposer des modifications ou à questionner la pertinence de certaines hypothèses, en particulier dans le cas des constellations.

 

Vérification des alignements

Comment identifier ou contrôler des figures géométriques associant des sites sacrés ? J’ai testé plusieurs méthodes, certaines automatiques, d'autres manuelles, qui donnent des résultats différents suivant les contextes et les géométries concernées.

  • La recherche manuelle d’alignements dans un logiciel SIG comme QGIS ou à partir d’une édition papier de la carte donne de bons résultats sur des distances limitées (à l’échelle d’une ville ou d’une petite région, mais pose très vite des problèmes quand les distances sont importantes car, plus les points sont éloignés, plus la projection s’éloigne de la sphère terrestre (voir paragraphe suivant) : sur de grandes distances, il convient de prendre en considération l’arc terrestre et non plus la droite, ce qui devient difficile dans un logiciel SIG.
  • Afin de faciliter l’identification d’alignements sur des arcs terrestres, j’ai développé un programme en langage Python. Après avoir ouvert un fichier de points dans le programme, on peut choisir 3 points. Le programme calcule le plan passant par les 3 points et son intersection avec la sphère terrestre (on ne prend ici en considération, ni le géoïde, ni l’ellipsoïde, mais une sphère moyenne, ce qui induit une certaine imprécision), puis recherche tous les autres sites à moins de 10km, 20km et 50 km de cet arc. Il les stocke dans un tableau excel et crée également une polyligne représentant cet arc qui peut être affichée dans un SIG : elle contient le nombre de points situés à 10, 20 et 50 km de l’arc.
  • Un programme similaire a été développé permettant de travailler sur des secteurs pouvant être considérés comme des plans. Dans ce cas, après ouverture du fichier de points, on peut choisir 2 points, le programme calcule la droite passant par les deux points et recherche tous les sites à moins de 1km, 2km, 5km. Il les stocke dans un tableau excel et crée également une ligne passant par les deux points et contenant le nombre de points situés à 1, 2 et 5 km de la droite.

Vérification des constellations de sites

Il n'y a pas de solution automatique pour repérer ou contrôler des ensembles de sites représentant des constellations stellaires. Seule, l’observation à partir d’une géolocalisation manuelle permet de le faire.

 

Recherche de figures sur des sites particuliers

Quelques figures ont été identifiées dans la revue bibliographique, mais la plupart de celles qui constituent la 3ème catégorie de géométries sacrées ont été identifiées par l’auteur de cet article par un travail en plusieurs étapes dans QGIS : identification de triangles équilatéraux (distances entre les 3 sommets égales à quelques  % près)  ou rectangles (angle rectangle compris entre 89 et 91°) formés par des sites dans un premier temps, ou des carrés approximatifs, ce qui permet ensuite d’identifier ensuite, divers types de figures (losanges mystiques ou sceaux de Salomon associant 2 triangles équilatéraux (et pouvant également être représentés sous la forme d’hexagones), tétractys associant 6 triangles équilatéraux) ou de tracer des cercles à partir desquels on peut alors mettre en évidence d’autres figures géométriques (octogones, pentagones, décagones et donc étoiles à 5, 8, 10 branches associées).

 

Le triangle rectangle étant inscrit dans un demi-cercle (dont le diamètre est l’hypoténuse du rectangle), on peut parfois constater que plusieurs triangles rectangles partagent les mêmes hypoténuses, donc le même cercle circonscrit. En traçant le cercle et en repérant les autres points situés à proximité du cercle, on arrive à reconstituer des figures inscrites (pentagones, hexagone, octogones, que l’on peut également représenter sous forme d’étoiles à 5, 6, 8 ou 12 branches). Quand je repère un triangle équilatéral, je cherche immédiatement s’il existe un triangle adjacent (formant un losange mystique) ou un triangle symétrique (formant un Sceau de Salomon). Quand je trouve un carré, je cherche un carré de même dimension décalé d’un angle de 45 ° et ayant le même centre, ce qui permet en cas de succès, d’identifier des octogones.

 

Le choix du système de projection d’affichage a ici une certaine importance, car QGIS utilise par défaut une projection « pseudo-Mercator » qui comporte elle-même des déformations dans une partie du globe terrestre. Il est donc préférable de travailler dans un système de projection pertinent sur le territoire considéré. Comme nous l’avons déjà signalé, un système de projection pertinent peut être identifié sur le site web http://www.epsg-registry.org/. A l’échelle d’une ville ou d’une agglomération, les déformations liées au système de projection sont négligeables si on retenu un système de projection pertinent.

 

Une question importante dans une telle recherche est celle de la tolérance dans les mesures, qui rejoint celle sur la précision des calculs de distances et d’angles, qui dépend, elle, de la précision de la géolocalisation des sites (voir infra). Bien sûr que si on ne cherche que des triangles équilatéraux dont les 3 côtés sont strictement égaux, on a peu de chance d’en trouver et plus l’écart admissible entre les 3 distances est important, plus le nombre de triangles est important. De même pour les triangles rectangles, se pose la question de la tolérance dans la valeur de l’angle droit. J’ai adopté, de façon empirique, les tolérances suivantes :

  • Ecart maximal entre le plus grand côté et le plus petit côté dans l’identification de triangle équilatéraux : 10 %
  • Ecart maximal à 90 % de l’angle droit d’un triangle rectangle : 1°
  • Pour les points situés sur les alignements, la distance de tolérance dépend de la longueur des lignes. Sur des arcs parcourant toute la surface terrestre, 3 niveaux de tolérance sont appliqués pour chercher les points proches de l’arc : 10, 20 et 50 km. Pour des droites concernant un secteur limité, les 3 niveaux
  • de tolérance sont 1, 2 et 5 km.

 

J’ai également développé un programme Python permettant de résoudre les triangles pour vérifier a posteriori les valeurs des côtés des triangles équilatéraux et les valeurs d’angle des triangles rectangles. De façon à disposer de distances en mètres et kilomètres et d’angles en degrés, ce programme travaille sur des points définis en coordonnées rectangulaires : il nécessite donc une projection préalable (dans un système localement pertinent) du fichier de points étudié et ne peut être utilisé que dans des secteurs géographiques limités (une ville, une petite région).

 

Certains peuvent se demander s'il ne serait pas plus facile de rechercher ces figures géométriques de façon automatisée. J'ai écrit plusieurs programmes dans ce sens et on trouvera les résultats détaillés des tests sur la page "identification automatique de figures". Si dans quelques cas, ces automatiques m'ont permis d'identifier des figures intéressantes, dans la plupart des cas, le quantitatif "automatisé" ne remplace pas le qualitatif "manuel".

Questions de précision concernant les figures géométriques

 

L’imprécision géométrique de chaque site se répercute sur l’imprécision géométrique de calcul des angles et des distances entre plusieurs sites. Quand la précision géométrique de localisation de deux sites est identique et égale à P, celle de la distance entre les deux sites est égale à P * √2. Ainsi, pour deux sites localisés respectivement au mètre, décamètre ou hectomètre près, leur distance est connue avec une précision de 1,40 mètre, 14 mètres ou 140 mètres. Du fait que la plupart des distances calculées entre sites sont supérieures à quelques centaines de mètres, l’imprécision de calcul de la distance n’a pas d’impact sur la comparaison des distances si les sites sont localisés à une précision décamétrique, ce qui est le cas pour la plupart des sites géolocalisés dans les villes du monde à partir d’OSM ou de photographies aériennes Google.

 

La précision de calcul ou de mesure d’un angle dépend également de celles des 3 points utilisés, mais également de la distance entre le sommet de l’angle et les deux points sur les côtés. Plus les points sont éloignés du sommet et moins leur imprécision impacte celle de l’angle. Le tableau qui suit donne les précisions PG des gisements (angle en degré, mesuré dans le sens horaire, que forme une droite par rapport à l’axe des Y du système de coordonnées) en fonction de la distance D des deux points et de la précision P des deux points (supposée identique). La formule est PG = √2* arcsin (D/P). Pour des points connus avec des précisions allant d’un mètre à 100 mètres et des distances entre points variant de 100 à 5000 mètres, la précision d’orientation décroît avec la distance et n’est inférieure à 1° que dans le cas où la distance entre les points est 100 fois plus grande de la précision de localisation de ces points. La précision d’un angle PA est la composée de celles des deux alignements, soit PA = PG*√2 = 2* arcsin (D/P).

 

P \ D

100

500

1000

2000

5000

 

Alignt

Angle

Alignt

Angle

Alignt

Angle

Alignt

Angle

Alignt

Angle

1

0,81

1,15

0,16

0,23

0,08

0,11

0,04

0,06

0,02

0,02

5

4,05

5,73

0,81

1,15

0,41

0,57

0,20

0,29

0,08

0,11

10

8,12

11,48

1,62

2,29

0,81

1,15

0,41

0,57

0,16

0,23

100

127,28

180,00

16,32

23,07

8,12

11,48

4,05

5,73

1,62

2,29